Std 11 Maths Ch 1 ગણ થીયરી અને સૂત્રો 30 MCQ સાથે

આ પોસ્ટ સાંભળો:

ટીપ: તમે લખાણના કોઈ પણ વાક્ય પર બે વાર (Double Click) કરીને ત્યાંથી જ સાંભળવાનું શરૂ કરી શકો છો.

પ્રકરણ 1: ગણ (Sets)

આકૃતિ: ગણ સિદ્ધાંત અને વેન આકૃતિઓ

1. ગણ: પ્રસ્તાવના અને વ્યાખ્યા

ગણિતમાં 'ગણ' એ એક પાયાનો ખ્યાલ છે. આધુનિક ગણિતના લગભગ દરેક શાખામાં ગણનો ઉપયોગ થાય છે. જ્યોર્જ કેન્ટર (George Cantor) નામના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીએ ગણ સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો હતો.

વ્યાખ્યા: નિશ્ચિત અને સુવ્યાખ્યાયિત (Well-defined) વસ્તુઓના સમૂહને ગણ (Set) કહે છે.

સુવ્યાખ્યાયિત નો અર્થ: આપણે ચોક્કસપણે કહી શકવા જોઈએ કે કોઈ ચોક્કસ ઘટક તે સમૂહનો સભ્ય છે કે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, "ભારતના સારા ક્રિકેટરોનો સમૂહ" એ ગણ નથી કારણ કે "સારા" ની વ્યાખ્યા વ્યક્તિએ વ્યક્તિએ બદલાઈ શકે છે. પરંતુ "ભારતના ભૂતપૂર્વ રાષ્ટ્રપતિઓનો સમૂહ" એ ગણ છે.

ગણ દર્શાવવાની પદ્ધતિઓ:

ગણને સામાન્ય રીતે અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો A, B, C, X, Y, Z વગેરે વડે દર્શાવાય છે અને તેના ઘટકોને નાના અક્ષરો a, b, c, x, y, z વડે દર્શાવાય છે.

જો ઘટક a એ ગણ A નો સભ્ય હોય, તો તેને a ∈ A લખાય છે (વંચાય: a belongs to A). જો ન હોય તો a ∉ A લખાય છે.

ગણને દર્શાવવાની બે મુખ્ય રીતો છે:

• યાદીની રીત (Roaster Form): બધા ઘટકોને અલ્પવિરામથી અલગ પાડીને છગડિયા કૌંસ {} માં લખવામાં આવે છે. દા.ત. A = {2, 4, 6, 8}. ક્રમનું મહત્વ નથી અને ઘટકોનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવતું નથી.
• ગુણધર્મની રીત (Set-builder Form): ઘટકોના સામાન્ય ગુણધર્મનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે. દા.ત. A = {x : x એ 10 થી નાની બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે}.

2. ગણના વિવિધ પ્રકારો

(A) ખાલી ગણ (Empty or Null Set):

જે ગણમાં એક પણ ઘટક ન હોય તેને ખાલી ગણ કહે છે. તેને φ (ફાઈ) અથવા {} વડે દર્શાવાય છે.

ઉદાહરણ: {x : x² = 4 અને x એ એકી સંખ્યા છે} = φ.

(B) એકાકી ગણ (Singleton Set):

જે ગણમાં માત્ર એક જ ઘટક હોય તેને એકાકી ગણ કહે છે. દા.ત. {5}.

(C) શાંત ગણ (Finite Set) અને અનંત ગણ (Infinite Set):

• શાંત ગણ: જે ગણ ખાલી હોય અથવા તેના સભ્યોની સંખ્યા નિશ્ચિત (ગણી શકાય તેવી) હોય. દા.ત. {1, 2, 3, 4, 5}.
• અનંત ગણ: જે ગણ શાંત ન હોય તે અનંત ગણ છે. દા.ત. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ N = {1, 2, 3, ...}.

(D) સમાન ગણ (Equal Sets):

જો બે ગણ A અને B માં એકના એક જ (તમામ સમાન) ઘટકો હોય, તો તેમને સમાન ગણ કહે છે. સંકેતમાં A = B.

3. ઉપગણ (Subsets)

જો ગણ A નો પ્રત્યેક ઘટક એ ગણ B નો પણ ઘટક હોય, તો ગણ A ને ગણ B નો ઉપગણ કહે છે.

સંકેત: A ⊂ B (વંચાય: A is a subset of B).
જો a ∈ A હોય તો a ∈ B હોવું જ જોઈએ.

મહત્વના મુદ્દાઓ:

• દરેક ગણ એ પોતાનો ઉપગણ છે (A ⊂ A).
• ખાલી ગણ (φ) એ દરેક ગણનો ઉપગણ છે (φ ⊂ A).
• જો A ⊂ B અને A ≠ B હોય, તો A ને B નો ઉચિત ઉપગણ (Proper Subset) કહે છે અને B ને A નો અધિગણ (Superset) કહે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ઉપગણો (Intervals):

જો a, b ∈ R અને a < b હોય, તો:

• વિવૃત અંતરાલ (Open Interval): (a, b) = {x : a < x < b}
• સંવૃત અંતરાલ (Closed Interval): [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}
• સંવૃત-વિવૃત અંતરાલ: [a, b) = {x : a ≤ x < b}
• વિવૃત-સંવૃત અંતરાલ: (a, b] = {x : a < x ≤ b}

4. ઘાતગણ (Power Set) અને સાર્વત્રિક ગણ

ઘાતગણ (Power Set):

ગણ A ના તમામ ઉપગણોના ગણને A નો ઘાતગણ કહે છે. તેને P(A) વડે દર્શાવાય છે. P(A) નો દરેક ઘટક એ ગણ છે.

જો ગણ A ના સભ્યોની સંખ્યા n(A) = m હોય, તો તેના ઘાતગણ P(A) ના સભ્યોની સંખ્યા n[P(A)] = 2ᵐ થાય.

ઉદાહરણ: A = {1, 2} હોય તો P(A) = {φ, {1}, {2}, {1, 2}}. કુલ સભ્યો = 2² = 4.

સાર્વત્રિક ગણ (Universal Set):

કોઈ ચોક્કસ સંદર્ભમાં, આપણે એવા ગણની વિચારણા કરીએ છીએ કે જે ચર્ચામાં લેવાયેલા તમામ ગણોનો અધિગણ હોય. આવા ગણને સાર્વત્રિક ગણ કહે છે. તેને સામાન્ય રીતે U વડે દર્શાવાય છે.

5. વેન આકૃતિઓ (Venn Diagrams)

ગણ વચ્ચેના સંબંધોને આકૃતિ દ્વારા દર્શાવવાની રીતને વેન આકૃતિ કહે છે. આ રીત જોન વેન (John Venn) નામના તર્કશાસ્ત્રીએ આપી હતી.

• સામાન્ય રીતે સાર્વત્રિક ગણ U ને લંબચોરસ દ્વારા દર્શાવાય છે.
• તેના ઉપગણોને લંબચોરસની અંદર વર્તુળ દ્વારા દર્શાવાય છે.

6. ગણ ક્રિયાઓ (Operations on Sets)

(A) યોગગણ (Union of Sets):

ગણ A ના તમામ ઘટકો અથવા ગણ B ના તમામ ઘટકો અથવા બંનેમાં હોય તેવા ઘટકોથી બનતા ગણને A અને B નો યોગગણ કહે છે.

સંકેત: A ∪ B = {x : x ∈ A અથવા x ∈ B}

(B) છેદગણ (Intersection of Sets):

ગણ A અને ગણ B બંનેમાં હોય તેવા સામાન્ય ઘટકોથી બનતા ગણને A અને B નો છેદગણ કહે છે.

સંકેત: A ∩ B = {x : x ∈ A અને x ∈ B}

જો A ∩ B = φ હોય, તો A અને B ને અલગ ગણ (Disjoint Sets) કહે છે.

7. તફાવત ગણ અને પૂરક ગણ

(A) તફાવત ગણ (Difference of Sets):

ગણ A માં હોય પરંતુ ગણ B માં ન હોય તેવા ઘટકોના ગણને A અને B નો તફાવત ગણ કહે છે. તેને A - B વડે દર્શાવાય છે.

સૂત્ર: A - B = {x : x ∈ A અને x ∉ B}

તે જ રીતે, B - A = {x : x ∈ B અને x ∉ A}

(B) પૂરક ગણ (Complement of a Set):

સાર્વત્રિક ગણ U ના ઉપગણ A માટે, U માં હોય પરંતુ A માં ન હોય તેવા તમામ ઘટકોના ગણને A નો પૂરક ગણ કહે છે. તેને A' અથવા Aᶜ વડે દર્શાવાય છે.

સૂત્ર: A' = U - A = {x : x ∈ U અને x ∉ A}

8. ગણ ક્રિયાઓના ગુણધર્મો (Properties)

યોગ અને છેદ ક્રિયાના ગુણધર્મો:

• ક્રમનો નિયમ: A ∪ B = B ∪ A અને A ∩ B = B ∩ A
• જૂથનો નિયમ: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• સ્વયંઘાતી નિયમ (Idempotent Law): A ∪ A = A અને A ∩ A = A
• એકમ ઘટકનો નિયમ: A ∪ φ = A અને A ∩ U = A
• વિભાજનનો નિયમ: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

દ-મોર્ગનના નિયમો (De Morgan's Laws):

પૂરક ગણ માટેના આ બે નિયમો ખૂબ જ મહત્વના છે:

1. (A ∪ B)' = A' ∩ B' (યોગગણનો પૂરક ગણ એ પૂરક ગણોનો છેદગણ છે)
2. (A ∩ B)' = A' ∪ B' (છેદગણનો પૂરક ગણ એ પૂરક ગણોનો યોગગણ છે)

9. વ્યવહારિક કૂટપ્રશ્નો માટેના સૂત્રો

જો A, B અને C શાંત ગણો હોય અને U શાંત સાર્વત્રિક ગણ હોય, તો:

• બે ગણ માટે:
  n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
  જો A અને B અલગ ગણ હોય (A ∩ B = φ), તો n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
• ત્રણ ગણ માટે:
  n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
• માત્ર A માં હોય (B માં ન હોય): n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)

સ્વ-મૂલ્યાંકન ક્વિઝ (30 પ્રશ્નો)

તમારી તૈયારી ચકાસવા માટે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

તમારો સ્કોર:

0

/ 30